Y = + x + x x + e, e N(0, ), Residual e=y -Yˆ

Transkripsi

1 Yogyaarta, 26 Noember 206 ISSN : 979 9X eissn : X ANALISIS PSEUDOINVERS DAN APLIKASINYA PADA REGRESI LINEAR BERGANDA Kris Suryowati Program Studi Statistia, Faultas Sains erapan, Institut Sains dan enologi Yogyaarta _risnaroz@gmail.com INISARI Matris iners tergeneralisir merupaan matris balian dari suatu matris yang bersifat umum yaitu matris berordo nxm dapat dipandang mempunyai iners yang disebut iners tergeneralisir, Misalan suatu matris Q berordo nxm, tida mempunyai determinan, maa dapat ditentuan matris P sedemiian sehingga memenuhi QPQ = Q dalam hal ini matris P disebut matris iners tergeneralisir, apabila matris P memenuhi syarat tambahan yaitu memenuhi PQP = P, (PQ) H = PQ, (QP) H = QP maa matris P bersifat tunggal dan matris P disebut pseudoiners atau iners semu bagi matris Q yang dinotasian Q g. Pada artiel ini aan dibahas atau diaji sifat etunggalan pseudoiners matris P, yang aan ditunjuan syarat perlu dan syarat cuup matris P tunggal. Selanjutnya matris P tersebut aan diapliasian untu menyelesaian masalah regresi linear berganda. Kata unci: iners tergeneralisir, iners semu, model regresi linear ganda. PENDAHULUAN Matris berordo n atas lapangan bilangan real mempunyai iners atau bersifat inertible jia matrisnya non sigular yaitu mempunyai determinan yang tida nol. Misalan suatu matris A berordo n, dengan det(a) 0 maa matris A mempunyai iners, misalan matris B merupaan iners dari matris A sehingga memenuhi AB = BA = I n dengan I n merupaan matris identitas berordo n pada Anton, H, Apabila determinan matrisnya nol atau matrisnya berordo nxm maa dalam teori Aljabar Linear, matris tersebut tida punya iners.namun demiian pada pembahasan matris generalisasi, matris yang determinannya nol dan juga berordo nxm mempunyai iners dan lebih lanjut inersnya disebut matris iners tergeneralisir. Misalan suatu matris Q berordo nxm atau matris Q mempunyai determinan nol, iners matris Q tida terdefinisi, tetapi dapat ditentuan misalan matris P merupaan matris iners tergeneralisir yang memenuhi QPQ = Q dan matris P tersebut tida tunggal. Ada beberapa syarat tambahan apabila matris P memenuhi sifat etunggalan yaitu pada matris P harus memenuhi sifat PQP = P, (PQ) = PQ, (QP) = QP dan lebih lanjut matris P disebut matris pseudoiners atau iners semu bagi matris Q (Setiadji, 200 dan Ben-Israel, d, 200 ). Berdasaran sifat etunggalannya sehingga pada apliasinya iners semu atau pseudoiners dapat diterapan hususnya untu menyelesaian masalah regresi linear berganda. Analisis Regresi linear berganda digunaan untu mengetahui hubungan antara areabel tida bebas dengan dua atau lebih areabel bebas.bentu umum model regresi linear berganda dengan areabel dependen (Y) dan areabel independen x, x 2,, xp disajian sebagai beriut 2 Y = + x + x x + e, e N(0, ), Residual e=y -Yˆ p p dengan i, i =,2,..., p oefisien regresi yang berarti besarnya perubahan pada Yˆ, jia X i bertambah satu satuan dan ariabel yang lain onstan, 0 adalah intercept. Residual e mengiuti distribusi normal dengan rata-rata 0 dan arians onstan sebesar 2. Pada penelitian ini aan dibahas analisis matris iners semu meliputi pengertian dan araterisasinya yaitu sifat etunggalannya, beberapa metode menentuan pseudoiners dan apliasinya pada analisis regresi linear berganda untu menentuan estimator oefisien. Pada pembahasananya dibatasi pada matris dengan entrynya bilangan real R, untu membantu proses perhitungan digunaan software MALAB serta diberian contoh apliasi real pada pembentuan model regresi linear berganda pada masalah sederhana. 550

2 Yogyaarta, 26 Noember 206 ISSN : 979 9X eissn : X Pengertian Matris dan Jenis-jenis Matris Pengertian dan jenis-jenis matris disajian pada definisi definisi beriut Definisi. Matris (matrix) adalah susunan segi empat siu-siu dari elemen-elemen yang dapat berupa pernyataan simbolis ataupun bilangan-bilangan.atau matris merupaan susunan obje-obje yang disusun berdasaran baris dan olom, dengan demiian suatu matris pasti mempunya jumlah baris dan jumlah olom, obje obje atau elemen-elemen dalam hal ini sering disebut entri dari matris (Leon, S. J, 200; Suryowati dan Harmastuti, 20). Definisi 2. Matris berordo nxm Matris A berordo nxm jia banyanya baris n dan banyanya olom m. Apabila banyanya baris dan banyanya olom suatu matris sama maa diataan matris rersebut berordo n, sering diataan matris bujur sangar, selanjutnya matris A beruuran nxn dinotasian dengan A n. Definisi. Matris diagonal adalah matris bujur sangar dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai real dan elemen lainnya bernilai nol. Notasi A = ( a ij ) dengan a ij = 0 untu i j ; a ij = real untu i = j Matris I n = [ ij ], ij disebut delta Kronecer, didefinisian oleh ij = untu i = j dan ij = 0 untu ij yang disebut matris identitas beruuran n, dinotasian I n Definisi. Jia A adalah matris m n, maa transpose dari A (transpose of A), dinyataan dengan A, didefinisian sebagai matris n m yang didapatan dengan mempertuaran baris-baris dan olom-olom dari A; sehingga olom pertama dari A adalah baris pertama dari A, olom edua dari A adalah baris edua dari A, dan seterusnya (Anton dan Rorres, 200). Konjugate transpose suatu matris dinotasian dengan A H yang didefinisian sebagai H A A dengan A merupaan matris onjugate dimana entri-entri yang bersesuaian pada matris A dan A transpose dari matris A. Definisi 5.(Anton dan Rorres, 200). Matris A beruuran n n adalah simetri (symmetric) jia A=A Jia memenuhi A H = A maa matris A disebut matris hermit. Pengertian iners Matris Jia A suatu matris persegi dan matris B beruuran sama dengan A sedemiian sehingga memenuhi AB = BA = I, maa A disebut bisa dibali dan B disebut iners dari A atau ditulis dengan B = A -. Suatu matris yang dapat dibali mempunyai tepat satu iners, sehingga A bersifat inertible artinya matris A dapat dibali. ( Suryowati dan Harmastuti, 20) Definisi 6. Matris A berodo n diataan mempunyai iners (inertible) jia ada matris B sehingga AB = BA = I n. Jia A dan B dua matris beruuran n n dan AB adalah matris identitas I n, maa A disebut iners iri dari B dan B disebut iners anan dari. eorema.matris yang inertible hanya memelii tepat satu iners. Dan iners matris A adalah A A (A) ( ) Matris Semu (Pseudoiners) suatu matris Matris singular berordo n dan matris berordo nxm secara umum tida punya iners. Pada (Goldberg,J.L., 99) pengertian umum matris iers tergeneralisir sebagai beriut diberian matris A berordo m xn atas lapangan bilangan real R, terdapat suatu matris G yang memenuhi. GAG = G 2. AGA = A. ( GA ) H = GA 2. (AG) H = AG apabila matris G memenuhi e empat sifat tersebut maa matris G disebut pseudoiners atau iners semu dari matris A selanjutnya dinotasian sebagai A g. Analisis Regresi linear berganda (sembiring, 995) 55

3 Yogyaarta, 26 Noember 206 ISSN : 979 9X eissn : X Analisis regresi linear berganda berfungsi untu menentuan hubungan satu areabel tida bebas dengan dua peubah atau lebih areabel bebas. Bentu umum model regresi linear berganda dengan areabel tida bebas Y yang dipengaruhi areabel bebas x, x 2,..., x p sebagai beriut, Y x x x e p p dengan asumsi e berdistribusi normal dengan µ = 0 dan arians onstan sebesar 2 2. MEODOLOGI Metode Penelitian dalam hal ini yaitu tahapan-tahapan yang digunaan dalam analisis dan pembahasan. Penelitia ini studi literatur dengan mengumpulan bahan-bahan literatur yang diperoleh dari penelusuran internet maupun dari perpustaaan di Institut juga perpustaaan di jurusan Matematia UGM. Kemudian mengajinya melalui menganalisis teori dalam hal ini menjabaran definisi-definisi yang diperjelas dengan membuat contoh-contoh terait, membutian teorema-teorema yang menunjang serta mengapliasiannya. Penelitian ini mengaji pengertian dan onsep serta araterisasi matris iners semu untu matris ordo nxm. Selanjutnya menerapan iners semu ( pseudoiners) untu mengestimasi oefisien areabel pada regresi linear berganda. Langah-langah penyelesaiannya sebagai beriut, a. Menganalisis pengertian matris iners semu, menunjuan sifat etunggalannya, melalui araterisasi syarat perlu dan syarat cuup untu memenuhi sifat tersebut. b. Menentuan iners semu suatu matris dengan beberapa metode. c. Menerapan pada analisis regresi linear berganda dalam hal ini menentuan estimasi oefisien areabel pada regresi linear berganda.. ANALISIS DAN PEMBAHASAN. Analisis Matris Iners semu (pseudoiners) Iners matris tergeneralisasi (Generalized Inerses of Matrix) dapat digunaan untu menggeneralisasi pengertian iners matris. erait penjelasan tentang pengertian matris semu atau pseudo iners sudah disajian pada pembahasan di atas. eorema mengenai sifat etunggalan matris iners semu, heorema Iners semu (pseudoiners ) matris A adalah tunggal. Atau Matris G = A g bersifat tunggal. Buti: Berdasaran definisi iners semu bahwa jia suatu A g apabila matris A g memenuhi eempat sifat diatas. diataan iners semu bagi matris A Matris A g tunggal artinya misalan terdapat dua matris pseudoiners lain yaitu C maa harus memenuhi C = A g. Untu membutian sifat tunggal untu matris A g, ditunjuan bahwa jia X sebarang matris yang memenuhi persamaan bagi A g, maa XAA H = A H... () dan X H = AB untu suatu matris B... (2) Dari persamaan () dihasilan dari ombinasi onjugate transpose pada AXA = A dan (XA) H =XA. Selanjutnya onjugat transpos dari XAX = X, menggunaan (AX) H = AX menghasilan X H = X H A H X H = A(XX H ) = AB. untub =XX H A g memenuhi persamaan () dan (2) untu sebarang matris yang diberian, misalnya untu matris B 2. dengan menggunaan () diperoleh (X A g )AA H = XAA H - A g AA H = A H A H = 0 (X A g )AA H = 0 berarti (X A g )A = 0... () 552

4 Yogyaarta, 26 Noember 206 ISSN : 979 9X eissn : X Dengan persamaan (2) ( X A ) ( B B ) A g H H H 2 Sehingga dihasilan B A CC (X A g )C C H = ( B B2 ) A CC B A CC H H H H H H 2 ( AB ) CC ( AB ) CC H H H H 2 H H XCC XCC 0 H H H H Berarti (X A g )C = 0... () Dalam ini matris C memilii olom-olom ortogonal terhadap olom pada matris A. Dari persamaan () dan () menunjuan bahwa (X A g ) = 0 oleh arena itu c = A g yang menunjuan sifat etunggalan dari A g. Diberian matris A, beberapa metode menentuan pseudoiners matris A yang dinotasian dengan A g, antara lain. Metode Langsung (Direct Method) Metode ini diemuaan oleh Henstenes (958) dengan menggunaan sema untu iners semu suatu matris melalui proses yang disebut biorthogonal. Proses ini dapat diperluas dan dimodifiasi untu semua matris berordo nxm atau matris persegi panjang. Konsep biorthogonal matris dapat dijelasan sebagai beriut diberian etor u, u 2,..., u n dapat dianggap etor olom dari matris U dan i, 2,..., n etor-etor baris dari matris V, maa matris U dan V diataan biorthogonal jia VU = I, apabila matris U dan V berordo n maa matris V dapat diataan sebagai iners dari matris U. Proses perhitungan pada metode ini yaitu diberian matris A berordo nxm dengan (m > n) misalan dua himpunan etor u, u 2,..., u m dan, 2,..., m pada ruang etor berdimensi m ( m n), membentu sistem orthogonal. Vetor-etor tersebut diperoleh dari hasil modifiasi etor tersebut dengan penambahan baris pada matris sedemiian berordo lebih besar atau sama dengan m, selanjutnya menggunaan proses beriut ( a. entuan c ), u dengan a, b a b b. c. d. c c ( c ), u, j j j c ( ) ( ) Dengan c ( ) ( c ), c c. c untu i, ( ) i i Dalam hal ini dapat berlau jia c 0 e. Iners tergeneralisisr diperoleh dengan menghapus dua olom terahir dari V (n) Contoh. Hitunglah matris iners tergeneralisir matris Penyelesaian: 0 A Untu menentuan matris iners semu dari matris A, langah pertama yaitu menambahan dua baris pada matris A sedemiian semua baris matris A ortogonal dengan baris tambahan tersebut, misalan hasil penambahan baris membentu matris U sebagai beriut 55

5 Yogyaarta, 26 Noember 206 ISSN : 979 9X eissn : X U etor-etor olom matris U : u = (, 0, -,, 0), u 2 = (0, -,, 0, -), u = (-,, 0, 0, - ), u = 0 0 (, 0, -, -, - ).dan matris 0 0 V U dengan etor-etor baris matris ( -,, 0, 0, -), dan V adalah = (, 0, -, -, - ). = (, 0, -,, 0), Preoses perhitungan selanjutnya menentuan V (), a. entuan c, u = <(, 0, -,, 0), (, 0, -,, 0) > b. 2 = (0, -,, 0, -), C = (, 0, -,, 0). (, 0, -,, 0) = () c diperoleh ( c ),, = < (0, -,, 0, -), (, 0, -,, 0) > = (0, -,, 0, -) (, 0, -,, 0) = - c u 2 2 c, u = < ( -,, 0, 0, -), (, 0, -,, 0) > = ( -,, 0, 0, -) (, 0, -,, 0) = - c, u = < (, 0, -, -, - ), (, 0, -,, 0) > = (, 0, -, -, - ) (, 0, -,, 0) = () () () () Diperoleh c2 c. c2 c c. c, Sehingga matris () 0 0 C () () c. Menentuan matris c c () () c c. c, () () V C. V = Selanjutnya mengulangi proses diatas untu menghitung V (2) diperoleh () c, u = (2), diperoleh c c c, u () j2 j 2 <, 0,,, 0, 0,,, 0, c, u () 2 2 c, u () 2 2 > = < 2,,,,, 0,,, 0, > = 55

6 Yogyaarta, 26 Noember 206 ISSN : 979 9X eissn : X c, u < 2, 0, 2,,, 0,,, 0, () 2 2 (2) (2) Diperoleh c c. c > = (2) (2) (2) (2) c2 c22. c2.( ) c2 c22. c2., 0 0 Sehingga matris 0 (2) 0 0 C (2) (2) V C. V Selanjutnya mengulangi proses diatas untu menghitung V (), dan berhenti pada perhitungan V () Dengan () () () c diperoleh V () Iners semu diperoleh dengan menghapus dua olom terahir dari V (), sehingga diperoleh matris A g = () V Pada metode tersebut terdapat elemahan apabila matrisnya beruuran besar. 2. Metode Iterasi (Iteratie Method) Metode ini diemuaan oleh Greillle,960 dengan menggunaan algoritma ringas. Adapun Algoritma perhitungan iners suatu matris A sebagai beriut, Misalan a notasi olom e dari matris A, dan A notasi matris yang memuat pertama. Matris A membentu matris partisi ( A, a ). Selanjutnya menghitung d A a dan c a A d Jia c 0, dengan b d d d A, maa diperoleh A db A b Untu mengawali proses selanjutnya, dihitung A 0 jia a etor nol, dan jia etor a 0 maa A a a a Contoh 2 Pada contoh selanjutnya aan dihitung matris A g dengan metode iterasi. Dalam hal ini perhitungannya dengan meggunaan bantuan MALAB A=[ 0- ;0-0; - 0 -]; >> Ag=in([ 0 -]*[;0;-])*[ 0 -]; >> d2=ag*[0 ;-; ]; >> c2=[0;-;]-[;0;-]*d2; >> b2=(in(transpose(c2)*c2))*transpose(c2); 555

7 Yogyaarta, 26 Noember 206 ISSN : 979 9X eissn : X >> Ag2=[A-d2*b2;b2]; >> d=a2*[-;;0]; >> c=[-;;0]-[ 0 ; 0 -; - ]*d; >> b=in(+transpose(d)*d)*transpose(d)*a2; b = >> Ag=[A2-d*b;b] A = >> d=a*[;0;-]; >> c=[;0;-]-[ 0 -;0 - ;- 0]*d; >> b=in(+transpose(d)*d)*transpose(d)*a; >> Ag=[A-d*b;b] Ag = Perhitungan berhenti pada Ag yang tida lain adalah iners semu atau pseudoiners matris A yaitu g A 0, , , , 0, , , 0, , , 2000 erlihat bahwa pada edua metode tersebut menghasilan A g yang sama. Algoritma pada metode iterasi ini lebih mudah perhitungannya dan lebih mudah diiuti. 2. Apliasi iners tergeneralisisr pada analisis regresi linear berganda Salah satu penerapan matris iners semu atau pseudoiners yaitu pada analisis regresi linear berganda dalam hal ini yaitu menentuan matris oefisien pada model regresi. Jia suatu areabel teriat Y dipengaruhi oleh areabel bebas bebas x, x 2,... x p maa bentu umum model Y x x x e p p Pada teori statistia bahwa untu menentuan matris oefisien dengan formulasi = (X X) -.X.Y berasaran data yang dietahui dengan asumsi jumlah data n > p sehingga matrisnya ran olom penuh, sehingga menurut teorema iners semu atau pseudoiners bahwa (X X) -.X = X g, penasir oefisien dengan menggunaan persamaan = X g.y dalam hal ini mengingat sifat etunggalan dari matris X g Koefisien sebagai penasir sehingga memenuhi sifat BLUE ( Best Linear Unbiased Estimator). Contoh apliasi Diberian data permintaan minyagoreng yang dipengaruhi oleh harga minya goreng dan pendapatan onsumen per bulan, sebagai beriut 556

8 Yogyaarta, 26 Noember 206 ISSN : 979 9X eissn : X No Permintaan dlm Ltr Harga minya / liter Pendapatan per bulan entuan bentu estimasi model regresinya. Penyelesaian :Dibentu matris oefisien , matis hasil X Y Pada perhitungan dalam hal ini dengan menggunaan bantuan MALAB, untu oefisien dengan formulasi = X g.y = (X X) -.X.Y >> X=[ 8 9 ; 7 9 ; 7 8 ; 7 5 ; 6 ; 6 5; 6 6; 6 7; 5 ; ]; >> Y=[; ; 5; 6; 6; 7; 8; 9; 0; 0]; >> Xg=in(transpose(X)*X)*transpose(X); >> B = Xg*Y B = Sehingga diperoleh bentu estimasi model regresi adalah Ŷ 0 x 2x2 Y ˆ 8,897,9559 x 0,009 x. KESIMPULAN 2 Iners semu suatu matris perluasan dari iners matris berordo n singular maupun iners matris beordo nxm dalam hal ini inersnya tida tunggal.karena onsep iners matris banya diapliasian pada masalah real sehingga pada pengembangannya iners tergeneralisir yang memenuhi eempat sifat yang ada yang nantinya disebut iners semu atau pseudoiners yang bersifat tunggal. Metode menentuan iners semu yang sering digunaan yaitu metode iterasi.pada apliasi di model analisis regresi linear berganda dalam hal ini digunaan untu menasir oefisien regresi dengan formulasi ˆ g X Y dengan X g iners semu dari matris oefisien yaitu matris X, ˆ g X Y sebagai penasir memenuhi sifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) 557

9 Yogyaarta, 26 Noember 206 ISSN : 979 9X eissn : X DAFAR PUSAKA Anton, H and Rorres, C, 200, Elementary Linear Algebra : Application Version, John Wiley & Sons, Inc, New Yor Anton, H, 992, Elementary Linear Algebra, John Willey & Sons, Inc. Ben-Israel, Adi And Greille, homas NE, 200, Generalized Inerses eory and Aplications, New Yor : Springer - Verlag Leon, S. J, 200, Linear Algebra With Applications, Prentice Hall, Inc. Sembiring, RK, 200, Analisis Regresi, Edisi edua, IB, Bandung Setiadji, 2006, Matris Inerg tergeneralisir, Pascasarjana UGM, Yogyaarta Suryowati, K. dan Harmastuti, 20, Aljabar Linear, Aprind Press, Yogyaarta. 558